Esta é a transformada de Fourier. Você tem que agradecer a ela pela música que ouve no streaming todos os dias, por espremer as imagens que você vê na internet em pequenos arquivos JPG, e até mesmo pela tecnologia dos fones de ouvido com cancelamento de ruído. Eis como ela funciona.
A equação permite aos matemáticos compreender rapidamente a frequência de qualquer tipo de sinal. É uma façanha. E não sou só eu que estou dizendo: em 1867, o físico Lord Kelvin também expressou seu amor eterno por esta obra da matemática. Ele escreveu: “o teorema de Fourier não é apenas um dos mais belos resultados da análise moderna, mas podemos dizer que ele fornece um instrumento indispensável no tratamento de quase todas as perguntas recônditas na física moderna”. E é assim até hoje.
A matemática da separação
A transformada de Fourier foi desenvolvida pelo matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier e publicada em seu livro A Teoria Analítica do Calor, de 1822. Ele estava interessado em como o calor fluía para dentro e em torno de materiais. No processo de estudar este fenômeno, ele obteve sua transformada. Na época, ele não teria como perceber como era importante a contribuição que estava dando — não apenas à matemática e à física, mas também à engenharia, à tecnologia e à ciência como um todo.
Sua maior descoberta foi perceber que os sinais complicados poderiam ser representados através da simples soma de uma série de sinais mais simples. Ele escolheu fazer isso por meio da soma de senoides — aquelas ondas oscilantes que você viu na escola, que vagueiam entre o pico e o vale com regularidade previsível. Digamos que você toca três teclas em um piano. Você produz três notas diferentes, todas com frequências bem definidas — chamadas de altura, quando estamos falando de som — que parecem ondas senoidais. Assim:
